摘 要：文中介绍了两种三维粗糙表面数值模拟方法，即：采用ANSYS的APDL语言编程通过参数化变量方式生成随机粗糙表面；用W-M分形函数来表征表面的微观形貌。在建立的几何模型基础上能方便地进行摩擦学过程建模。本文的研究为有限元分析软件在微尺度摩擦学中的应用提供了一种方法，同时也对与分形特征相关的摩擦学模型的进一步研究具有指导作用。 
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　　关键词：摩擦学；粗糙表面；数值模拟；分形 
　　中图分类号：TH117 
　　 
　　Application of Numerical Simulation to Tribology 
　　Chen Chong Feng Li Wu Zhenyu 
　　Shanghai Navy Equipment Repair Monitor Section，Shanghai，200136 
　　 
　　Abstract：In this paper two kinds of method for simulation of rough surface topography are presented, which are by using of ANSYS Parametric Design Language and the Weierstrass-Mandelbrot fractal function to realize modeling random rough surface. It is convenient to modeling tribological process based on simulation of rough surface topography. The study provides a method for the application of FEA software to microscale tribology, and is also a guide for further study of tribology models related to fractal characteristics. 
　　Key words：Tribology；Rough Surface；Numerical Simulation；Fractal 
　　 
　　1 引言 
　　 无论是铸、锻或是机械加工以及其他方法形成的固体表面都存在高低不等、形状各异的凸峰和凹谷，甚至经过精密研磨后的光学平镜表面也存在分布不规则的粗糙表面形貌[1]。由于摩擦与磨损现象都发生在固体的表面层，而且是在非常薄的一层内，在摩擦学中，主要是研究微米左右量级范围的几何结构对摩擦、润滑、磨损、密封等方面特性的影响，也就是说，是研究表面形貌的摩擦学效应[2]。近二十年来，随着摩擦学研究工作向表面微观深入，人们力图建立表面形貌与摩擦学效应的数学模型，实现摩擦、磨损过程的定量计算。 
　　 客观准确地表征工程表面是建模粗糙表面摩擦学问题的首要步骤。文中介绍了两种粗糙表面模拟方法：基于三维粗糙度评价参数的计算机生成粗糙表面；基于自仿射特性构建的分形粗糙表面。在模拟的粗糙表面基础上可以建立摩擦学接触模型进行后续的研究与分析。 
　　 
　　2 基于三维粗糙度评价参数的计算机生成的粗糙表面 
　　2.1 摩擦表面建模软件的功能 
　　 利用建模软件构建几何表面的方法分为正向建模和逆向建模两种。正向建模是直接采用数学方法建立虚拟表面；逆向建模是采用三维数字化测量仪器测量表面轮廓坐标值，然后构建基于真实表面数据的粗糙表面。 
　　 正向建模需要先对粗糙表面进行数学描述，例如传统的接触模型研究中通常把粗糙表面的微凸体简化为圆球体、椭球体等理想的光滑几何体，把微凸体的分布简化为等高或Gauss分布。逆向建模基于真实表面的空间几何数据构建粗糙表面，一般需要专门硬件设备和相关几何建模软件配合使用。硬件设备主要是各类三维表面形貌测量仪器，硬件设备测量得到真实表面形貌的三维空间数据，然后利用几何建模软件对真实表面形貌的空间数据进行计算处理，重构三维摩擦表面。几何建模软件近年来发展十分迅速，一些专业逆向工程软件，如Imageware、Paraform等，逆向建模功能都很强大。逆向建模软件一般作为前处理模块集成在CAD软件中，如Solidworks、UG等，也可将建好的模型导入ANSYS、ADAMS等软件进行有限元和动力学仿真分析。 
　　 但是采用逆向建模方式建立的接触模型对表面形貌测试仪器和计算机的依赖性很强，计算量较大，而且基于真实表面的摩擦学研究存在尺寸效应问题，模型不同，研究的尺寸范围有差异。目前，三维表面形貌测量仪器只作为观测微观表面的仪器存在，还没有普遍成为真实表面建模的工具，而且在真实表面几何模型的基础上构建接触模型和摩擦磨损模型还存在问题。因此，本文主要采用正向建模的方式构建三维粗糙表面。 
　　2.2 商业化有限元软件在摩擦学研究中的应用 
　　 基于CAD/CAE/CAM等应用的商业化建模软件如：UG、Pro/Engineer、Solidworks、ANSYS、Fluent等都具有三维实体设计功能，本文只介绍Solidworks和ANSYS在粗糙表面建模方面的应用。利用Solidworks构建粗糙表面采用程序驱动法，即首先在用户界面对话框中输入初始参数，然后根据初始参数自动生成三维几何模型；利用ANSYS构建粗糙表面采用尺寸参数驱动法，即通过尺寸驱动，为用户提供设计对象直观、准确的反馈，并能随时对设计对象加以修改。 
　　 基于三维粗糙度评价参数利用Solidworks的参数化建模功能可以方便地生成符合条件的各种粗糙表面，例如，随着表面峰顶密度Sds的不同，生成的粗糙表面如图1所示。 
　　 
　　图1 由Solidworks参数化生成的粗糙表面（沿z方向放大100倍）a) Sds=20；b) Sds=10 
　　Fig.1 Rough surface modeling in Solidworks（100X displacement of rough surfacein the direction of z axis）: a) Sds=20；b) Sds=10 
　　 
　　ANSYS参数化设计语言（ANSYS Parameter Design Language，APDL）是一种通过参数化变量方式建立分析模型的脚本语言，用建立智能化分析的手段为用户提供了自动完成有限元分析过程的功能[3]。鉴于其强大的有限元分析功能，本文尝试在ANSYS环境中对粗糙表面进行建模，在粗糙表面模型的基础上可以进行接触计算建模。利用ANSYS的APDL语言编程首先创建满足高斯分布的粗糙表面上的关键点，然后采用正向建模功能由点到线、再由线到面、最后由面到体建立了粗糙表面接触摩擦副模型。通过改变命令流程序文件中设定的几个标量参数如粗糙表面的长、宽和微凸体的密度、峰值比例因子等，可以在ANSYS中生成具有不同粗糙度参数的粗糙表面。例如，随着表面峰顶密度Sds的不同，生成的粗糙表面如图2所示： 
　　 
　　 
　　 
　　图2 由ANSYS参数化生成的粗糙表面（沿z方向放大100倍）a) Sds=10；b) Sds=20 
　　Fig.2 Rough surface modeling in Ansys（100X displacement of rough surfacein the direction of z axis）: a) Sds=10；b) Sds=20 

　　 
　　3 基于自仿射特性构建的分形粗糙表面 
　　3.1 粗糙表面统计学表征参数的局限性 
　　 传统的表征参数都是基于统计学的，但是由于粗糙表面的高度变化为非稳定随机过程，表面形貌的统计学参数对确定的表面不是唯一的，以这些参数为基础建立的接触模型对接触面积的预测结果也就不是唯一的。这是因为表面粗糙度具有多重尺度（毫米、微米和纳米级甚至更小）特性，在一定的测量条件下获得的统计学表征参数，只能反映与仪器分辨率及取样长度有关的粗糙度信息，而不能反映表面粗糙度全部信息。如果能够找到一种可以将所有尺度的粗糙度信息都包含于其中的表征参数，则该表征参数就是尺度独立的，并且对于确定的表面也就是唯一的，建立于这种参数上的接触模型势必更为合理。 
　　3.2 分形理论的发展 
　　 研究表明[4]，很多种机加工表面呈现出随机性、多尺度性和自相似性或自仿射性，即将粗糙表面的轮廓线反复放大能够观察到纳米级甚至更小的粗糙度不断增加的细节，并且在不同放大倍数下的粗糙度轮廓结构非常相似，而且粗糙表面在不同尺度的相似性可能是唯一确定的，这一特性可由分形几何来表征。粗糙表面的分形特性与尺度无关，可以提供存在于分形面上所有尺度范围内的全部粗糙度信息，因此利用表面分形特性建立的接触模型可望对表面接触的分析结果具有确定性和唯一性，使用分形几何来研究表面形貌将是合理地、有效地。 
　　 MANDELBROT最早将W-M函数引入分形领域，用于模拟二维粗糙表面轮廓高度，Ausloos和Berman[5]在W-M函数中引入多个变量来描述三维随机过程， Yan和Komvopoulos[6]对Ausloos-Berman函数作变换，得到直角坐标系下的三维表面高度分布函数： 
　　 
　　 
　　 
　　3.3 粗糙表面的分形模拟 
　　 机械加工表面分形维数表达了表面所具有的复杂结构的多少以及这些结构的微细程度和微细结构在整个表面中所占能量的相对大小。分形维数越大，表面中非规则的结构就越多，并且结构越精细，精细结构所具有的能量相对越大，具有更强的填充空间的能力。 
　　 由方程（1）可知，参数G和D是与频率无关的变量，即G和D是具有尺度独立性的分形参数。其中G是高度比例参数，也被称为分形粗糙度。为了说明分形参数G和D的物理意义及其对表面形貌的影响，本文分别在不同的分形维数和不同的分形粗糙度下对随机表面进行模拟，如图3所示。 
　　 
　　利用生成的三维表面形貌和高度数据，可以计算表面粗糙度参数。模拟的三维粗糙表面的四个最常用的表面粗糙度参数值如表3.1所示，其中为表面平均粗糙度，为均方根，为表面斜度，为表面峭度。由计算结果可知，随着分形维数D逐渐增大，表面平均粗糙度和均方根迅速减小，即表面变得越来越光滑，表面分布越来越接近于正态分布；分形粗糙度G只是一个高度比例参数，它的变化不影响微凸体的数量，只是使凸峰变的更高，凹谷变的更深。 
　　 
　　4 粗糙表面模拟在摩擦学模型中的应用 
　　 接触模型是研究摩擦表面微观接触过程中最基础和最关键的工具，接触模型的构建首先要进行几何表面建模，然后在几何表面模型的基础上进行接触计算建模。利用前面ANSYS的APDL语言编程生成的粗糙表面微观形貌，笔者[7]在ANSYS环境下对薄膜材料摩擦副有摩擦力作用下的接触问题进行了数值仿真，讨论了摩擦系数和弹性模量比变化这两种情况下薄膜/基体von Mises应力分布的变化情况，为有限元分析软件在微尺度摩擦学中的应用提供了一种方法；在模拟的分形粗糙表面基础上，笔者[8,9]分别建立了考虑表面效应的微尺度弹性、弹塑性接触模型，并针对具体的实例在MATLAB中编程分别对弹性接触模型和弹塑性接触模型进行数值模拟，得到了给定条件下各个微凸体上的载荷、真实接触面积、接触斑点尺寸和平均接触压力的分布情况，分析了二者计算结果存在差异的原因，模型中考虑各个微凸体具有不同的峰顶曲率半径，当变形足够大时考虑微凸体间的相互作用，因而更符合工程实际。 
　　 
　　5 小结 
　　 （1）接触模型是研究聚合物材料摩擦表面微观接触过程中最基础和最关键的工具，而构建接触模型的首要步骤是进行粗糙表面建模，然后才能在几何表面模型的基础上进行接触计算建模和摩擦磨损过程建模。 
　　 （2）为了满足粗糙表面摩擦学研究的需要，有必要对商业化建模软件的工作流程进行深入分析，开发方便实用的粗糙表面模拟模块，为后续的摩擦学研究奠定基础。 
　　 （3）粗糙表面的分形特性与尺度无关，可以提供存在于分形面上所有尺度范围内的全部粗糙度信息，因此利用表面分形特性建立的接触模型可望对表面接触的分析结果具有确定性和唯一性，使用分形几何来研究表面形貌是合理、有效的。 
　　 
　　参考文献： 
　　[1] 何奖爱, 王玉玮. 材料磨损与耐磨材料[M]. 沈阳：东北大学出版社, 2001. 
　　[2] 郑林庆. 摩擦学原理[M]. 北京：高等教育出版社，1993. 
　　[3] 龚曙光, 谢桂兰. ANSYS操作命令与参数化编程[M]. 北京：机械工业出版社 2004. 
　　[4] 陈国安，葛世荣，张晓云. 分形几何与摩擦学进展[J]. 润滑与密封. 1999, 5: 69-71. 
　　[5] Ausloos M, Berman D H. Elastic-plastic contact model for bifractal surfaces[J]. Proceedings of the Royal Society of London Series A, 1985, 400: 331-350. 
　　[6] Yan W, Komvopoulos K. Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces[J]. Journal of Applied Physics, 1998, 84: 3617-3624. 
　　[7] 冯丽，谢沛霖. 薄膜粗糙表面有摩擦接触问题的数值计算研究[J]. 润滑与密封, 2007, 32(10): 72-75. 
　　[8] 冯丽，谢沛霖. 基于分形理论的微机械表面形貌模拟及粘着弹性接触计算研究[J]. 润滑与密封, 2007, 32(6): 74-77. 
　　[9] 冯丽，谢沛霖. 粗糙表面接触问题的数值计算研究[J]. 武汉理工大学学报, 2008, 30(10): 124-126. 
　　 
　　作者简介: 
　　陈冲，男，1985年生。海军上海地区装备修理监修室助理工程师。研究方向为机械工程。